Tangente à une courbe plane

Soit E un plan affine et I un intervalle de $ \mathbb{R}$ .
γ = (I,ƒ) un arc orienté régulier de classe Ck (k ≥ 1) et t0I.

Tangente à un arc paramétré :

Définition :

On dit que γ admet une tangente au point M0 = ƒ(t0) s'il existe un entier p ≥ 1 et un vecteur uE tel que, au voisinage de t0, on ait ƒ(t) = ƒ(t0) + (t-t0)p u + o((t-t0)p).
La droite affine qui passe par ƒ(t0) est de vecteur directeur u s'appelle la tangente de γ en M0.

Remarque :

La tangence est une propriété géométrique. C'est à dire, elle ne dépent pas du paramétrage admissible choisi.

Position relative de la courbe par rapport à sa tangente :

On suppose que les dérivées successives de γ en t0 ne sont pas toute nulles.
Soit p le plus petit entier non nul tel que ƒp(t0) ≠ 0 et q le plus petit entier non nul, s'il existe, tel que le système (ƒp(t0),ƒq(t0)) soit libre. On a forcément pq.
On a alors $ f(t) = f(t_0) + \frac{(t-t_0)^p}{p!}(1+o(t-t_0))f^{(p)}(t_0)+ \frac{(t-t_0)^q}{q!}f^{(q)}(t_0) + o((t-t_0)^q)$ .
La position de la courbe par rapport à la tangente dépend alors de la parité de $ p$ et $ q$ . On a alors quatre cas :
  1. Cas p impair et q pair :
    Dans ce cas, on dit que M0 est un point ordinaire.
  2. Cas p,q impairs :
    Dans ce cas, on dit que M0 est un point d'inflexion.
  3. Cas p pair et q impair :
    Dans ce cas, on dit que M0 est un point de rebroussement de première espèce.
  4. Cas p,q pairs :
    Dans ce cas, on dit que M0 est un point de rebroussement de la deuxième espèce.

Remarque :

En pratique, on ne calcul pas les déririvées successives de ƒ en t0 mais on étudie le développement limité de l'application h ↔ &nof;(t0 +h) en 0.

Exemples :

Exemple 01 : Etude locale en t=0 de la courbe paramétrée : $ f(t)=(x(t),y(t)) = (\frac{t^2}{t+1},\frac{\sqrt{t^2+1}}{t+1})$ .
Le développement limité à l'ordre 1 de ƒ en 0 est $ (x(t),y(t))=(0,1)-t(0,1)+o(t)$ .
La tangent en t = 0 passe par A(0,1) est dérigée par (0,-1). Donc, c'est l'axe des ordonnées.
Le développement limité à l'ordre 2 de ƒ en 0 est $ (x(t),y(t))=(0,1)-t(0,1)+\frac{t^2}{2}(2,3)+o(t^2)$ .
Le système ((0,1),(2,3)) est libre donc le point A est un point ordinaire (p=1, q=2).
De plus la courbe la courbe reste dans le même sens que le vecteur (2,3). Donc, à droite de l'axe des ordonnées comme le montre le graph de ƒ en voisinage de t = 0 :
Exemple 02 : Etude locale en t=0 de la courbe paramétrée : $ f(t)=(x(t),y(t)) = (\frac{\sqrt{t^4+1}}{t+1},\frac{t^3}{t+1})$ .
Le développement limité à l'ordre 1 de ƒ en 0 est $ (x(t),y(t))=(1,0)-t(1,0)+o(t)$ .
La tangent en t = 0 passe par A(1,0) est dérigée par (-1,0). Donc, c'est l'axe des abscisses.
Le développement limité à l'ordre 2 de ƒ en 0 est $ (x(t),y(t))=(1,0)-t(1,0)+t^2(1,0)+t^3(-1,1)+o(t^3)$ .
Le système ((0,1),(-1,1)) est libre donc le point A est un point d'inflexion (p=1, q=3).
Le graph de ƒ :
Exemple 03 : Etude locale en t=0 de la courbe paramétrée : ƒ(t)=(x(t),y(t)) = (t2+t3,t2-t3).
Içi, on n'a pas besoin de faire un développement limité.
La tangent en t = 0 passe par A(0,0) est dérigée par (1,1). Donc, c'est la première bissectrice.
Le système ((1,1),(1,-1)) est libre donc le point A est un point de rebroussement de la première espèce (p=2, q=3).
Le graph de ƒ au voisinage de t = 0 :
Exemple 04 : Etude locale en t=0 de la courbe paramétrée : ƒ(t)=(x(t),y(t)) = (t2+t4,t2+t5).
La tangent en t = 0 passe par A(0,0) est dérigée par (1,1). Donc, c'est la première bissectrice.
Le système ((1,1),(1,0)) est libre donc le point A est un point de rebroussement de la deuxième espèce (p=2, q=4).
Le graph de ƒ au voisinage de t = 0 :

Tangente à la courbe définie implicitement par ƒ(x,y)=0 :

Soit U un ouvert de $ \mathbb{R}^2$ et ƒ ∈ C1(U).

Définition :

L'ensemble C = {(x,y) ∈ $ \mathbb{R}^2$ / ƒ(x,y) = 0} s'appelle courbe cartésienne d'équation ƒ(x,y) = 0. On note C : ƒ(x,y) = 0.

Définition :

Soient la courbe cartésienne C : ƒ(x,y) = 0 et M0(x0,y0) ∈ U. M0 est dit critique ou stationnaire si $ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) = 0$ . Si ce n'est pas le cas, on dit que M0 est régulier.
La courbe C sera dite régulière si tous ses points sont réguliers.

Proposition :

On suppose que la courbe C : ƒ(x,y) = 0 est régulière. Alors au voisinage de tout point M0C la courbe C admet un paramétrage de l'une des deux formes y = φ(x) ou x = φ(y).

Remarque :

  1. Si $ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \neq 0$ alors C admet au voisinage de M0 un paramétrage de type x = h(y) avec h de classe C1.
  2. Si $ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \neq 0$ alors C admet au voisinage de M0 un paramétrage de type y = h(x) avec h de classe C1.

Proposition :

On suppose que la courbe C : ƒ(x,y) = 0 est régulière et soit M0(x0,y0) ∈ C. Alors :
  1. Le vecteur $ \left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) , \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\right)$ est normal à la courbe C en M0.
  2. La courbe C admet une tangente en M0 d'équation $ (x-x_0)\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) + (y-y_0)\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0$ .

Exemple :

Déterminer la tangente à l'ellipse d'équation x2 + 3 y2 = 1 au point $ A(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ .
On pose ƒ(x) = x2 + 3 y2 - 1.
On a $ \frac{\partial f}{\partial x}(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) = 1 \neq 0$ et $ \frac{\partial f}{\partial y}(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) = 3$ , donc A est un point régulier.
L'équation de la tangente T à l'ellipse en A est : $ T : 1 \times (x - \frac{1}{2}) + 3 (x- \frac{1}{2}) = 0$ . Donc T : x + 3 y = 2.
Le graph de l'ellipse x2 + 3 y2 = 1 et sa tangente :