Convergence uniforme

$\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soient $ X$ un ensemble non vide et $ F$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit $ (f_n)$ une suite de fonctions de $ X$ vers $ F$

Convergence uniforme :

Proposition et définition :
On dit que que la suite $ (f_n)$ converge uniformément sur $ X$ si $ \exists f : X \to F$ tel que $ \forall \varepsilon >0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, \forall x \in X, \|f_n(x)-f(x)\| \leq \varepsilon$.
Dans ce cas, $ f$ est unique et on l'appelle la limite uniforme de $ (f_n)$ et on note $ f_n \xrightarrow{u} f$.
Interprétation géométrique :
Si on considère une suite $(f_n)$ de fonctions numériques à variable réelle qui converge uniformément vers une application $f$ alors pour tout $\varepsilon>0$ il existe un rang à partir duquel le graphe de $f_n$ est entre celui de $f+\varepsilon$ et $f-\varepsilon$.
Remarques :
$ f_n \xrightarrow{u} f$ sur $ X$ ssi $ (f_n-f)$ est bornée sur $ X$ à partir d'un certain rang et on a $ \|f_n-f\|_\infty \to 0$.
La définition précédente nécessite la connaissance à l'avance de $ f$. Le théorème suivant résout le problème :
Proposition :
Si la suite de fonctions $ (f_n)$ converge uniformément sur $ X$ vers $ f$ alors $ (f_n)$ converge simplement sur $ X$ vers $ f$.
Critère de Cauchy :
La suite de fonctions $ (f_n)$ converge uniformément sur $ X$ ssi $ \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall m,n \geq N, \forall x \in X, \|f_n(x)-f_m(x)\| \leq \varepsilon$.
Corollaire :
L'ensemble $ (\mathcal{B}(X,F),\|\|_\infty)$ des applications bornées de $ X$ vers $ F$ est un espace de Banach.

Etude de la convergence uniforme d'une suite de fonctions :

Pour étudier la convergence uniforme de $ (f_n)$ sur $ X$ on suit les étapes suivantes :
  1. Déterminer la limite simple $ f$ de $ (f_n)$ sur $ X$. Si cette limite n'existe pas alors il n'y a pas de convrgence uniforme.
  2. Etudier l'application $ f_n-f$ afin de déterminer la borne supérieure $ m_n$ de $ \|f_n-f\|$. En pratique, on cherche à majorer $ \|f_n-f\|$ par les termes d'une suite, lorsqu'elle existe, $ (\varepsilon_n)$ telle que $ \varepsilon_n \to 0$.
  3. Si $ m_n \to 0$ alors on a convergence uniforme. Si ce n'est pas le cas, il n'y a pas de convergence uniforme.

Exemples :

Exemple 01:
Pour la suite de fonctions $ f_n(x)=x^n$ sur $ [0,1]$ on a $ f_n \xrightarrow{s} 0$.
On a $\displaystyle \sup_{x \in [0,1]} |f_n(x)-f(x)| = \sup_{x \in [0,1[} |f_n(x)| = \sup_{x \in [0,1[} x^n = 1 \not \to 0$ donc la suite de fonctions $ (f_n)$ ne converge pas uniformément sur $[0,1]$.
Exemple 02:
Pour la suite de fonctions $ f_n(x)=\frac{1}{x+n}$ sur $ [1,+\infty[$ on a $ f_n \xrightarrow{s} 0$.
On a $\forall x \geq 1, 0 \leq f_n(x) \leq \frac{1}{n+1} \to 0$ donc $ f_n \xrightarrow{u} 0$.
Exemple 03:
Pour la suite de fonctions $ f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}$ sur $ \mathbb{R}$ on a $ f_n \xrightarrow{s} f$ avec $ f(x)=|x|$.
On a $\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, 0 \leq f_n(x)-f(x) = \sqrt{x^2+\frac{1}{n}} -|x| = \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}+|x|} \leq \frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$. Donc $ f_n \xrightarrow{u} f$ sur $ \mathbb{R}$.
Exemple 04:
Pour la suite de fonctions $ f_n(x)=x^n \ln x$ sur $ ]0,1]$ on a $ f_n \xrightarrow{s} 0$.
On a $ f'_n(x)= (n \ln x +1) x^{n-1}$ donc $\displaystyle \forall x \in ]0,1], | f_n(x)-f(x) | \leq |f_n(e^{-\frac{1}{n}})| = \frac{1}{ne} \to 0$. Donc $ f_n \xrightarrow{u} 0$ sur $ ]0,1]$.
Comment montrer qu'une suite de fonction qui converge simplement ne converge pas uniformément :
On suppose que $ (f_n)$ converge simplement sur $ X$ vers $ f$.
Pour montrer que $ (f_n)$ ne converge pas uniformément sur $ X$ on cherche une suite $ (x_n) \in X^\mathbb{N}$ telle que $ f_n(x_n) - f(x_n) \not \to 0$.
Exemple 01:
Pour la suite de fonction $ f_n(x)=x^n$ sur $ [0,1]$ on a $ f_n \xrightarrow{s} 0$.
On remarque que $\forall 0 < a <1, \forall x \in [0,a], 0 \leq f(x) \leq a^n \to 0$ donc $ f_n \xrightarrow{u} 0$ sur $ [0,a]$.
On déduit que le problème se pose au voisinage de 1. On va prendre alors une suite de $ [0,1]$ qui tend vers 1. Par exemple $ x_n = 1 - \frac{1}{n}$.
On a $ f_n\left(1-\frac{1}{n}\right)-f\left(1-\frac{1}{n}\right)=\left(1-\frac{1}{n}\right)^n \to e^{-1} \neq 0$.
Donc la suite de fonctions $ f_n(x)=x^n$ ne converge pas uniformément sur $ [0,1]$.
Exemple 02:
Pour la suite de fonction $ f_n(x)=\frac{x}{x+n}$ sur $ \mathbb{R}$ on a $ f_n \xrightarrow{s} 0$.
On remarque que $\forall 0 < a <1, \forall x \in [-a,a], |f(x)| \leq \frac{a}{n} \to 0$ donc $ f_n \xrightarrow{u} 0$ sur $ [-a,a]$.
On déduit que le problème se pose au voisinage de $ \infty$. On va prendre alors une suite réelle qui tend vers $ \infty$. Par exemple $ x_n = n$.
On a $ f_n(n)-f(n)=\frac{n}{2n} =\frac{1}{2} \not \to 0$.
Donc la suite de fonctions $ f_n(x)= \frac{x}{x+n}$ ne converge pas uniformément sur $ \mathbb{R}$.